Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

Hỏi Đáp
Mục lục bài viết:
Công thức, cách tính Đạo hàm theo định nghĩa và mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục - Toán lớp 11

Đạo hàm là nội dung quan trọng vì nó xuất hiện trong nhiều dạng toán giải tích ở chương trình toán phổ thông. Vì vậy, nắm vững khái niệm về đạo hàm sẽ giúp các em dễ tiếp thu các bài học sau này.

Bạn đang xem: Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác


Trong bài này chúng ta cùng tìm hiểu về đạo hàm, công thức và cách tính đạo hàm theo định nghĩa, mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số. Đồng thời vận dụng giải một số dạng bài tập như viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm, hay viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k,... để hiểu rõ hơn.

I. Tóm tắt lý thuyết về đạo hàm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Định nghĩa: Cho hàm số  xác định trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b), nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn):

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số  tại điểm x0 và ký hiệu là f"(x0) (hoặc y"(x0)), tức là:

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

* Chú ý:

 Đại lượng Δx = x - x0 được gọi là số gia của đối số tại x0.

 Đại lượng Δy = f(x) - f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số, khi đó:

Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

• Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng M nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x0 ∈ K.

2. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

• Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 ⇒ f(x) liên tục tại x0

3. Công thức, cách tính đạo hàm theo định nghĩa

Để tính đạo hàm theo định nghĩa thực hiện như sau:

- Bước 1: Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) với Δx là số gia của đối số tại x0

- Bước 2: lập tỉ số 

- Bước 3: Tìm 

II. Các dạng bài tập tính đạo hàm theo định nghĩa

° Dạng 1: Tính đạo hàm theo định nghĩa

* Phương pháp:

- Bước 1: Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = f(x) - f(x0)

- Bước 2: lập tỉ số 

- Bước 3: Tính 

- Khi thay x0 bằng x, ta tính được đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x ∈ (a;b).

* Ví dụ (Bài 3 trang 156 SGK Đại số 11): Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số tại các điểm đã chỉ ra:

a) y = x2 + x tại x0 = 1

b) Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 tại x0 = 2

c) Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 tại x0 = 0

° Lời giải ví dụ (Bài 3 trang 156 SGK Đại số 11): 

a) Ta có:

 Δx = x - x0 = x - 1 ⇔ x = Δx + 1

 Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = f(1 + Δx) - f(1)

- Mặt khác:

 f(1 + Δx) = (1 + Δx)2 + (1 + Δx)

 f(1) = (12 + 1) = 2

- Nên Δy = (1 + Δx)2 + (1 + Δx) - 2

 = 1 + 2Δx + (Δx)2 + 1 + Δx - 2

 = Δx(Δx+3)

Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

- Vậy f"(1) = 3.

b) Ta có:

 Δx = x - x0 = x - 2 ⇔ x = Δx + 2

 Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = f(2 + Δx) - f(2)

- Mặt khác:

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 ; Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

- Nên Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

 

Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

- Vậy Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

c) Ta có:

 Δx = x - 0 = x ⇔ x = Δx

 Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = f(Δx) - f(0)

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

- Vậy f"(0) = -2.

° Dạng 2: Liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số

* Phương pháp:

1> Hàm số có đạo hàm tại điểm x0 thì liên tục tại điểm đó (điều ngược lại không đúng).

2> Để chứng mình hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 ta thực hiện như sau:

- Chứng minh Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 không tồn tại.

- Hoặc chứng minh hàm số không liên tục tại x0.

* Ví dụ 1 (Bài 4 trang 156 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng hàm số:

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

⇒ Hàm số y = f(x) gián đoạn tại x = 0

⇒ Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0.

• Xét tại điểm x = 2:

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

⇒ Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = 2 và f"(2) = 2.

* Ví dụ 2: Cho hàm số Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 nên hàm số liên tục tại x = 0.

Chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

 Nên không tồn tại Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
, vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

* Ví dụ 3: Cho hàm số: Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
(*)

- Mặt khác ta có:

Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

  (do thay a+b=1 vào)

- Như vậy để hàm f(x) có đạo hàm thì: Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 (**)

- Từ (*) và (**) ta có: Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

° Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm M0(x0;f(x0)) ∈ (C).

* Phương pháp:

1) Tính  

 hoặc Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

2) Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M0 là k = f"(x0).

3) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M0 là:

 y=f"(x0)(x - x0) + f(x0).

* Ví dụ 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x3.

Xem thêm: Những Cách Trị Thâm Mông Hiệu Quả Ngay Tại Nhà Cực Đơn Giản, Top 3 Kem Trị Thâm Mông An Toàn Hiệu Quả Nhất

a) Tại điểm (-1; -1);

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2; 

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11):

• Ta có:

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

a) Tiếp tuyến của y = x3 tại điểm (-1; -1) có dạng:

 y = y’(-1)(x + 1) + y(1)

- Mà y"(1) = 3.(-1)2 = 3; y(1) = -1 nên:

 y = 3(x + 1) – 1 =3x + 2

b) Tại điểm có hoành độ x0 = 2; 

⇒ y0 = f(x0) = f(2) = 23 = 8;

⇒ f’(x0) = f’(2) = 3.22 = 12.

- Vậy phương trình tiếp tuyến của y = x3 tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

 y = 12(x – 2) + 8 = 12x – 16.

* Ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến đường hypebol y = 1/x.

a) Tại điểm (1/2; 2);

b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11):

• Ta có:

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

a) Ta có: Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

- Nên phương trình tiếp tuyến của đường công tại điểm (1/2;2) là:

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

b) b) Tại điểm có hoành độ x0 = -1;

⇒ y0 = -1 ⇒ f’(x0) = -1.

- Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong y = 1/x tại điểm có hoành độ -1 là:

 y = -1(x + 1) – 1 = -x – 2.

° Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) khi biết hệ số góc k

* Phương pháp:

1) Gọi điểm M0(x0; y0) ∈ (C) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C)

2) Tính 

3) Giải phương trình k = f"(x0) tìm x0 rồi tìm được y0 = f(x0).

4) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc k có dạng:

 y = k(x - x0) + y0

* Chú ý:

- Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng hệ số góc k.

- Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích của hai hệ số góc k1, k2 bằng -1 (tức là k1.k2 = -1).

* Ví dụ 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x3.

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11):

• Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 3.

- Ta có: f’(x0) = 3 ⇔ 3x02 = 3 ⇔ x02 = 1 ⇔ x0 = ±1.

- Với x0 = 1 ⇒ y0 = 13 = 1

 ⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x – 1) + 1 = 3x – 2.

- Với x0 = -1 ⇒ y0 = (-1)3 = -1

⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x + 1) – 1 = 3x + 2.

- Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 có hệ số góc bằng 3 là:

 y = 3x – 2 và y = 3x + 2.

* Ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến đường hypebol y = 1/x.

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -1/4.

Xem thêm: List Of Postal Codes In Germany Zip Codes, Postal Codes 49

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11):

• Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến k=-1/4.

- Ta có: 

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

- Với Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 nên phương trình tiếp tuyến là:

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

- Với Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác
 nên phương trình tiếp tuyến là:

 Chứng minh công thức đạo hàm lượng giác

- Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của hypebol y=1/x có hệ số góc bằng -1/4 là: 


Chuyên mục: Hỏi Đáp

Recent Post